Расчет интегралов на примере стакана

Тут недавно были помянуты интегралы. Мол, не знают их. Насколько я помню в школе их не проходят, но с идейной точки зрения штука простая, а с инструментальной довольно полезная.
Потому простенький пример. Имеется стакан:

Вчерашнее измерение веса воды в нём показало, что его объем 200мл.
Размеры у него такие:

Можно его нарисовать в AutoCAD-е. Новая версия умеет измерять объемы, а из старой можно вынуть STL и измерить его:
http://www.viewstl.com/

Утверждается, что объем 218 007мм3.

Интеграл это тот самый объем, точнее сумма кругов с радиусами от 22 до 34мм, которые постепенно и по прямой меняются на длине 87.2мм. Он же – сумма объемов мельчайших частиц если всю эту штуку на них разрезать. Измерялка STL так и работает. Ей дали файл, в котором в какой-то точке пространства «1» – есть тело, а где-то 0 – нет тела. Сумма этих мелких единиц в файле и посчитана. Это как порошок в 3d-принтере, на этом уровне в этом месте сыпать, а тут не сыпать.
Объем стакана в «интегралах»:

Знак интеграла происходит от английской буквы «S» и означает сумму. Вот он и означает, что надо просуммировать площади кругов (ПИ*радиус*радиус) от низа стакана (x=0) до верха стакана (x=87.2).
Но пока тут не написано очень важного, т.е как радиус R зависит от X, т.е параметра функции которую надо просуммировать.
Функция тут обычная, линейная, т.е y=a*x+b. Очевидно, что b=22 (22 = a*0+b). Коэффициент наклона «a» определяется из значения в широкой части стакана: y=34=a*87.2+22 => a = 0,1376. Радиус R это значение функции «y», т.е:

В последней строчке интеграл вычислен и вместо знака интеграла надо уже рисовать прямую линию. Данная запись означает, что в полученное выражение надо подставить x сверху (=87.2), и вычесть из него выражение в которое подставлено х снизу (=0).
Вычисление интеграла тут простое. Интеграл это то, производная чего равна тому, что написано под интегралом, т.е например:

В полученном выражении всё умножается на x, значит значение при x=0 равно нулю и вычитать этот ноль не придётся. А если во все три слагаемых подставить значения a,b и x=87.2, то получится 218061,72, т.е почти то, что посчитал STL.
Единицы измерения:
http://www.translatorscafe.com/cafe/RU/units-converter/volume/c/