Модель «хищник – жертва»

Это – иллюстрация того, чем может быть управление, которое обсчитывается с помощью математических моделей. Та самая «теория управления» как предмет и «кибернетика» как раздел науки.

Текст – дополнение к описанию кафедр МатМеха, которое тут:

https://www.facebook.com/notes/950120015053564

Видимо, чтобы компенсировать такой несерьёзный верх снизу суровый список «Вопросы по курсу “Теория управления”, 2010 год». Я не знаю, что такое «теория управления», но судя по списку это сплошнее ДифУры (дифференциальные уравнения, их решение, исследование устойчивости).

Вообще-то это обычно механика. Дифференциальные уравнения берутся из законов сохранения

Модель простенькая и вычисления в ней простенькие. Несмотря на непривычный внешний вид, все вычисления тут на уровне применения элементарного арифметического правила типа (a+b) * c = a*c+b*c только для вычисления производных. Потому материал легко адоптируются для демонстрационного примера.

Модель «хищник – жертва» как пример модели популяции взят из книги Дулова «Математические методы в современном естествознании»:

http://akostina76.ucoz.ru/load/knigi/dulov_matematicheskie_metody_v_sovremennom_estestvoznanii/2-1-0-98

… и мною творчески (с) переработан.

Скачать книгу можно тут:

https://www.facebook.com/notes/922854694446763

Производные это функции изменения по времени. Т.е это то самое изменение параметра из законов сохранения (изменения). В самом простом случае производная это скорость, т.е приращение пройденного расстояния к прошедшему времени. Положительная скорость (т.е движение ТУДА) это положительна производная (знак у неё «плюс»). Отрицательная скорость это движение ОБРАТНО. При этом знак производный – «минус».

Пусть в данной модели параметр N1- число «жертв»,

N2- число «хищников».

И тот и другой показатель не постоянен, а меняется со временем, т.е они оба являются функцией от времени t, что обычно записывается так: N1=N1(t), N2=N2(t)

Упрощения модели, сразу делающие её моделью, только приблизительно описывающей реальность:

1] Пища «жертв»  (численность которых N1) не лимитируется. Т.е в этой модели не предусмотрено сокращение пищи жертв (т.е эта пища кончится не может, это бесконечный ресурс). Сокращение этой пищи не может отработать отрицательной обратной связью, снижающей чью-то численность.

2] «Хищник» питается только «жертвой». Прочих видов в модели нет. Раз «хищник» питается «жертвой», то его численность – функция не только от времени, но и от количества жертв, т.е N2=N2(t,N1). Конкретный вид функции пока не известен, его и надо выяснить.

Численность «жертв» и «хищников» может и увеличиваться (когда работает «газ») и уменьшаться (когда работает «тормоз»), но прочих рычагов воздействия (кроме численности «жертв» и «хищников») в модели нет. 

Это очень быстро растущая и стремящаяся к бесконечности функция. В случае численности это означало бы очень быстрый и ничем не сдерживаемый рост поголовья «жертв».  

Но в модели действует и сдерживающий фактор – количество «хищников», потому и численность «жертв» N1 это функция не только от времени, но и от количества хищников, т.е N1=N1(t,N2)

Всё это вместе даёт стандартный вид закона сохранения (изменения) некого признака (в данном случае количества). Какие-то факторы вызывают рост (увеличение), а какие-то спад (снижение численности):

Работать с изобилием констант (Q,gamma) неудобно. В данный момент интересует поведение модели, а не сколько будет «жертв» и «хищников» в данный конкретный момент времени. Только для вычисления этих точных значений могли бы потребоваться конкретные величины этих смертностей и прожорливостей. 

Для упрощения вводится замена переменных:

Осталось решить систему этих двух дифференциальных уравнений, но аналитически (т.е с возможностью записать решение в виде функций) она так понимаю не решается.

Но понять, что там примерно происходит, т.е как примерно ведут себя функции можно и не решая эту систему.

Для начала обозначу параметры более привычными буквами. 

А сами эти функции рисуют на плоскости x,y круг какого-то радиуса R с центром в начале координат:

Вообще-то это про теорему Пифагора:

… т.е какими бы ни были по длине катеты, если гипотенуза (т.е радиус круга) у них одна и та же, то их соотношение нарисует тут самую окружность с центром в начале координат.

Возвращаюсь к «хищникам» и «жертвам».

Уравнение для «жертв»: x’ = x-xy, .т. е их численность растёт (x’>0) пока количество их всех (и «жертв» и «хищников»), т.е  произведение x*y не станет слишком большим. В этот момент начинается снижение численности  «жертв». Т.е пока все мало – рост, как только всех стало много – спад.

Уравнение для «хищников»: y’ = xy – y. Идёт рост до тех пор пока количество «хищников» (y) не стало слишком большим и не превысило x*y. Особо силён спад, когда ещё и «жертв» (т.е x) мало.

Пороговые значения, когда происходит изменения направления движения (рост сменяется спадом) очевидны. Это значения «1» и для x и для y.

x’>0 если x-xy>0, т.е 1-y>0, т.е y<1           x’<0 при y>1

y’>0 если xy-y>0, т.е x-1>0, т.е x>1           y’<0 при x<1

Т.е движение в разных частях плоскости (рост, спад x, y) будет происходить как-то так:

Короче, решение системы уравнений имеет вид:

Число «жертв» растёт до какого-то момента, а число «хищников» уменьшается. Но как только количество «жертв» дойдёт до значения «1» знак производной поменяется, функция достигнет минимума и начнёт расти. Как только число «хищников» дорастёт до «1» начнётся уменьшение количества «жертв», т.е та функция достигнет максимума и начнёт снижение. Это можно понять и по «Овалам Вольтерра» и по значениям графика, как функция от времени t.

Простую модель можно усложнить, добавив к ней различные педали «газа» и «тормоза» и посмотрев, как будут взаимодействовать функции, влияющие друг на друга (т.к их значения вплетены в оба дифференциальных уравнения).

Все экономические и экологические модели, в которых рассчитываются и учитываются доступные ресурсы и прочее построены именно по этой схеме. В каком-то смысле управление с помощью воздействия на ресурсы это тоже управление. Другое дело, что ни к администрированию (применимому  в быту), ни к робототехнике, где ограничителем движения должна отработать встреченная стенка это отношения не имеет.