Примеры начальных условий для волнового уравнения

Математическая физика это объединением математики и физики. Это очень удобно потому, что чисто математическая часть не ставит фантазии никаких ограничений. Физик может сказать, что не бывает таких начальных условий в реальных физических задачах и потому получена модель несуществующего в природе процесса.
Но с математической точки зрения всё будет сделано правильно, без всяких ошибок. Решение уравнения даст правильный результат, который будет соответствовать и законам Гука и Ньютона и тому, что придумано в качестве начальных условий.
При сдаче экзамена требовалось знание того, как что выводилось, но не глубокое понимание происходящего.  А самостоятельно играться мне тогда не пришло в голову потому никаких правильных примеров я привести не смогу.
А вот поэкспериментировать со всем, что придёт в голову мне техника позволяет. К тому же с чисто формально – математической точки зрения всё придуманное будет правильным.
Отсюда:
http://akostina76.ucoz.ru/blog/2017-02-12-3846

Вот в эту функцию решения:

надо напридумывать таких начальных условий:

Нет проблем. Что такое ψ(x) я не совсем понимаю, потому пусть оно пока побудет нулём. Это же не запрещено. А ещё я понимаю, что чтобы волна пошла, в начальный момент нужен хоть какой-то «бугорок».
Такой «бугорок» удобно соорудить из описанной тут экспоненты:
 http://akostina76.ucoz.ru/blog/2017-02-14-3854

u(x,t):=(1/(exp( (x-2*t)* (x-2*t)  ))+1/(exp( (x+2*t)* (x+2*t)  )))/2;

plot3d(u(x,t),x=0..5,t=0..10,axes=boxed,numpoints=1000);

Видно, как начальный «горб» вначале резко теряет высоту а потому, со временем, смещается от начальной точки вправо.
Пусть теперь у меня начальная формы была вытянутым вдоль оси X синусом, а скорости опять не было. Тогда будет так:
u(x,t):=(sin( (x-2*t)*Pi/5)+sin( (x+2*t) )*Pi/5)/2;

И так:
plot3d(u(x,t),x=0..5,t=0..10,axes=boxed,numpoints=1000);

… и это мне совсем не нравится но исключительно потому, что совсем не похоже на колебания струны. А непохоже оно потому, что не заданы граничные условия при x= 0 и x=5. Математический аппарат благополучно учёл только то, что ему было задано, т.е начальную форму. Нигде пока не было написано, что концы струны не должны колебаться. Вот и проходит волна через этот участок так как и полагается волне, т.е постепенно сдвигаясь в сторону.
Наигравшись с φ(x) можно перейти к ψ(x). Пусть в начальный момент у меня никаких изгибов не было, зато откуда-то возникла скорость.
Но раз уж возникла скорость, то почему бы сразу не сделать её ударом, т.е функцией Дирака про которую было тут:
http://akostina76.ucoz.ru/blog/2017-02-14-3854

plot3d(int(Dirac(s),s=x-2*t..x+2*t),t=0..10,x=0..5);

И получилось у меня… непонятно что. Т.е деформации в начальный момент возникли в начальной точке, начали распространяться по оси X и никуда уже никогда не денутся. По-моему, так не бывает.
Но бывают ли такие начальные условия? Ведь если что-то сильно растянулось в одной точке то в соседней логично столь же сильно сжаться?
Тогда пусть в середине этого отрезка будет «взрыв», т.е  положительная функция Дирака, а по бокам положительные сжатия:
plot3d(int(Dirac(s-2.5)-0.5*Dirac(s)-0.5*Dirac(s-5),s=x-2*t..x+2*t),t=0..10,x=0..5,axes=boxed,numpoints=1000);
Будет так:

А чуть сбоку так:

Т. е в самый начальный момент по бокам идёт то самое сильное сжатие, но потом всё успокаивается и дальше в две стороны расходятся правда две волны напоминающие то, что было в первом примере.
Я вовсе не утверждаю, что так можно задавать ударную нагрузку. Скорее всего, даже нельзя (вынужденные колебания, т.е под действием какой-то силы рассматриваются отдельно)  Но я сейчас играюсь, пытаясь получить картинки хоть на что-то похожие. И с математической точки зрения будет так как получено если будут такие начальные условия.
Но теперь я всё-таки хочу волну в струне в виде синуса. Тогда и начальную скорость надо задать в виде синуса:
plot3d(int(sin(s*Pi/5),s=x-2*t..x+2*t),t=0..10,x=0..5, axes=boxed);

В начальный момент не будет никаких отклонений, но это только на миг. Ведь скорость уже несёт струну прочь от этого нуля.
А если объединить синусы, т.е задать в его виде и φ и ψ, то станет хуже:
plot3d((sin( (x-2*t)*Pi/5)+sin( (x+2*t) )*Pi/5)/2+int(sin(s*Pi/5),s=x-2*t..x+2*t),t=0..10,x=0..5, axes=boxed);

… хотя вроде бы это просто начальный прогиб который появится в первую долю секунды. А это означает, что в ту самую первую долю секунды уже всё как-то не так, синусы уже не совсем те синусы, которые были вначале.