Разные формулы для ряда Фурье

Здесь:
http://akostina76.ucoz.ru/blog/2017-03-10-3936

… меня несколько удивила неожиданная трансформация обычной формулы для рада Фурье во что-то урезанное и даже немного другое.
Вообще-то, можно посмотреть как эти формулы выводились. Я не помню, было это в курсе математического анализа (1,2 курс), в функциональном анализе (3 курс) или ещё где-то. Также не вспомню, преподаватели какой кафедры про них рассказывали. Но это математика, а вспоминать математику я не хочу. А потому, что настроения нет.
Вместо этого я немного «потрогаю» так и так полученные откуда-то без доказательства (в данном случае) формулы и посмотрю, как это всё работает. Сразу скажу, что формул там, похоже, несколько, в том числе  не выводимых друг из друга простым преобразованием. Просто для разных случаев удобно использовать разные варианты.
Здесь:
http://akostina76.ucoz.ru/blog/2017-03-11-3939

… у меня была вот такая функция:
f:=1/exp((x-1)*(x-1));

Вот её я и буду приближать разными видами радов просто потому, что на косинусе (в примерах по той же ссылке) не интересно.
Обычные формулы ряда Фурье:

… дают три слагаемых. Это константа (a0), слагаемые с косинусами и слагаемые с синусами:
Можно взять по три слагаемых косинуса и синуса. Тогда будет так:
plot([a_0+u_sin(x)+u_cos(x),a_0,u_sin(x),u_cos(x),f(x)],x=x1..x2,color=[magenta,black,blue,green,red]);

Не скажу, чтобы по этим графикам что-то было интуитивно понятно, но видно, что константа a0 дала то начальное смещение в нуле, которое есть в данной функции, но которого не может быть у струны. А приближение косинусами (зелёное) имеет хоть и небольшие но всё-таки отклонения в начале и конце струны. Так тоже со струнами не бывает, потому приближение синусами (которые тождественно равны нулю на концах) объекта типа «закреплённая струна» довольно логично.
Для приближения функции синусами была такая формула:

… с помощью которой, кстати, никак не удастся приблизить линейную функцию типа y=x/2 про которую было тут:
http://akostina76.ucoz.ru/blog/2017-02-22-3882

Будет вот как:
f:=x/2;
plot([f(x),v_fur(x)],x=0..6,color=[red,blue]);

… т.е что смогло, то синусами приблизилось, но поскольку все синусы равны нулю на концах, приближение тоже выдало итоговый ноль справа. Это погрешность, делающая эту «отвертку» из «набора инструментов» непригодной для использования в случае такой функции. Т.е формулу надо выбирать такую, которая подходит к конкретной задаче.
Синусы явно подходят для струн из-за их нулей на концах.
Но интересно куда, всё-таки, девались косинусы из общего вида формулы. Точный ответ в выводе рядов Фурье, но я посмотрю иначе. Я сравню коэффициенты при синусах и косинусах из разных формул и поищу равные.
Это расчет по полной формуле (с константой a0, косинусами и синусами):
f:=1/exp((x-1)*(x-1));
x1:=0;
x2:=6;
L:=(x2-x1)/2;
a_0:=evalf(int(f,x=x1..x2)/L)/2;
a_cos_1:=evalf(int(f*cos(1*Pi*x/L),x=x1..x2)/L);
a_cos_2:=evalf(int(f*cos(2*Pi*x/L),x=x1..x2)/L);
a_cos_3:=evalf(int(f*cos(3*Pi*x/L),x=x1..x2)/L);
a_cos_4:=evalf(int(f*cos(4*Pi*x/L),x=x1..x2)/L);
a_cos_5:=evalf(int(f*cos(5*Pi*x/L),x=x1..x2)/L);
b_sin_1:=evalf(int(f*sin(1*Pi*x/L),x=x1..x2)/L);
b_sin_2:=evalf(int(f*sin(2*Pi*x/L),x=x1..x2)/L);
b_sin_3:=evalf(int(f*sin(3*Pi*x/L),x=x1..x2)/L);
b_sin_4:=evalf(int(f*sin(4*Pi*x/L),x=x1..x2)/L);
b_sin_5:=evalf(int(f*sin(5*Pi*x/L),x=x1..x2)/L);
u_cos_1:=(x)->a_cos_1*cos(1*Pi*x/L);
u_cos_2:=(x)->a_cos_2*cos(2*Pi*x/L);
u_cos_3:=(x)->a_cos_3*cos(3*Pi*x/L);
u_cos_4:=(x)->a_cos_4*cos(4*Pi*x/L);
u_cos_5:=(x)->a_cos_5*cos(5*Pi*x/L);
u_sin_1:=(x)->b_sin_1*sin(1*Pi*x/L);
u_sin_2:=(x)->b_sin_2*sin(2*Pi*x/L);
u_sin_3:=(x)->b_sin_3*sin(3*Pi*x/L);
u_sin_4:=(x)->b_sin_4*sin(4*Pi*x/L);
u_sin_5:=(x)->b_sin_5*sin(5*Pi*x/L);
u_cos:=(x)->u_cos_1(x)+u_cos_2(x)+u_cos_3(x)+u_cos_4(x)+u_cos_5(x);
u_sin:=(x)->u_sin_1(x)+u_sin_2(x)+u_sin_3(x)+u_sin_4(x)+u_sin_5(x);
plot([a_0+u_sin(x)+u_cos(x),f(x)],x=x1..x2,color=[blue,red]);
А это формулы для приближения только синусами. Поскольку в них удваивается длина L (т.е приближение идёт не синусами sin(k*Пи*x/3) а синусами sin(k*Пи*x/6) )  вводится новая переменная L_2:
L_2:=L*2;
v_1:=2*evalf(int(f*sin(1*Pi*x/(L_2)),x=x1..x2))/L_2;
v_2:=2*evalf(int(f*sin(2*Pi*x/(L_2)),x=x1..x2))/L_2;
v_3:=2*evalf(int(f*sin(3*Pi*x/(L_2)),x=x1..x2))/L_2;
v_4:=2*evalf(int(f*sin(4*Pi*x/(L_2)),x=x1..x2))/L_2;
v_5:=2*evalf(int(f*sin(5*Pi*x/(L_2)),x=x1..x2))/L_2;
v_6:=2*evalf(int(f*sin(6*Pi*x/(L_2)),x=x1..x2))/L_2;
v_7:=2*evalf(int(f*sin(7*Pi*x/(L_2)),x=x1..x2))/L_2;
v_8:=2*evalf(int(f*sin(8*Pi*x/(L_2)),x=x1..x2))/L_2;
v_fur:=(x)->v_1*sin(1*Pi*x/L_2)+v_2*sin(2*Pi*x/L_2)+v_3*sin(3*Pi*x/L_2)+v_4*sin(4*Pi*x/L_2)+v_5*sin(5*Pi*x/L_2);
plot([v_fur(x),f(x)],x=0..6,color=[blue,red]);
Результаты:
 

Довольно похоже, но меня интересует почему оно похоже при разных формулах.
Если просто выписать и сравнить получаемые из разных формул константы, то будет так:

Видно, что b_sin_2 = v_4, b_sin_4=v_6 и т.д.
Оно и понятно. Ведь:

Но тогда остальные синусы (v_k не выделенные цветом) должны быть похожи по значениям на косинусы, хоть и с обратным знаком (судя по тому, что a_cos_n<0, а v_5>0).
Так оно и есть:

Ни то чтобы это было тождество, но и итогового равенства формулы не дают. Но это позволяет понять, как оно там внутри примерно происходит.
На некоторых отрезках синусы близки к косинусам с обратным знаком.
3/3 в аргументе синуса равно 1, 5/6 в аргументе косинуса примерно равно 1.
При этом просто sin(Пи*x) вовсе не равен cos(Пи*x):

И даже если посмотреть чуть дальше, туда где уже нет никакой струны, т.е при x>6, видно что там сходство пропадает:

… но на интересующем участке оно есть.
Итого: если исследуется закреплённая с двух сторон струна, то формулу с синусами можно использовать и не бояться. Это явно примерно то же что обычная (т.е тот же набор слагаемых), а точное доказательство (визуального сходства) почти наверняка есть в какой-то математике.