Визуальная информация (анализ)

Я не стала изображать трёхмерный объект с разных сторон как это делают на чертежах. Дело в том, что чтобы это было удобно и привычно надо быть конструктором, который привык к тем самым чертежам. Не думаю, что таких много. Да и я к таким не отношусь. Там же точные правила какие-то есть.
Я уже привыкла к возможности крутить объект как угодно в AutoCAD-е. Потому при более серьёзном примере я бы видео записала или уж 3d-canvas:
http://www.arc.id.au/Canvas3DGraphics.html

… освоила.
Но тут пример был такой, в котором это не осень нужно. На МатМехе на младших курсах проходят аж две геометрии: аналитическую и дифференциальную. Что именно там рассказывают, я уже не помню. Но видимо там и показывают как выглядят все эти проекции, касательные к плоскостям и т.д. Потому в лекциях по гидромеханике нарисована простенькая картинка и считается, что у человека хоть как-то разработано пространственное мышление и все эти проекции на оси он может представить сам.
Это один из видов тренировки мозгов на младших курсах. Если интересно как занятие, то есть и другие.
Первое, что меня спросил репетитор перед вступительными экзаменами (при первой встрече): чему равен радиус прямой?. Я ответила, что бесконечности. Таких вопросов, конечно, не задавали в школе. Это была проверка если ли вообще абстрактное мышление, т.е способность думать и самостоятельно протягивать логические выводы к ответам, которых никто не объяснял и не формулировал.
Я хочу показать логику самого процесса на анализе поведения некой функции. Пусть у меня есть функция:

… и меня интересует, как выглядит её график. Засовывать в Maple я по каким-то причинам не хочу. Ведь я хочу думать и делать выводы а не просто увидеть картинку. С другой стороны здесь тренируется всё та же связь между формулами и визуальной информацией. Я уже касалась этой темы в разговоре о бесконечно малых:
http://akostina76.ucoz.ru/blog/2017-03-20-3968

… которых не видно но с которыми надо что-то делать. Трёхмерные объекты, которые надо представить в воображении без картинки тоже относятся к этой теме.
Вот я и попытаюсь представить, как будет выглядеть график этой функции. Считать я, конечно, тоже немного буду.
Во-первых в функции присутствует синус. Синус это нечто примерно такое:

… т.е это нечто волной болтающееся между 1 и -1 и обнуляющееся в точках Pi*n.
Функции бывают разные. Довольно интересно, что происходит с функцией на бесконечностях (отрицательной и положительной). Не уходит ли она там на бесконечность, например, что бывает со многими функциями. Например, с параболой и экспонентой:

Нет. Эта функция явно не такая. То, что не синус определяет амплитуду колебания и это единица, делённая на параболу: 1/( (x-10)^2-5). Парабола бесконечна на бесконечности значит единица, на неё делённая равна нулю там же.
Те итоговая функция должна выглядеть как-то так:

И на этом, т.е на картине затухающих колебаний, можно было бы успокоиться если бы парабола – амплитуда не обладала неприятной способностью обнуляться в худшем случае в двух точках. Типичная парабола это вот такое:

Важно что в примере её «рога» направлены именно вверх как на этой картинке, потому, что y=-x*x выглядит так:

Но в изучаемой функции (x-10)^2-5, т.е коэффициент при x*x (если раскрыть скобки) положительный потому рога этой параболы направлены вверх. Парабола может и не пересекать ось X:

… но здесь явно не тот случай. Рога, повторюсь, вверх, а сдвиг её по оси Y направлен вниз. Значит так она будет:

Точнее, конечно, не совсем так. Ещё она сдвинута вправо на 10, т.е так:

При всей неприятности этого занятия, надо всё-таки выяснить в каких точках она пересекает ось X. Это будут точки, в которых изучаемая функция будет уходить на бесконечность (надо будет ещё выяснить в плюс бесконечность или в минус бесконечность).

Чему равен квадратный корень из 5 я не знаю и надеюсь, что для определения вида функции мне это не понадобится. Это корень явно больше 2, т.е 2*2=4 и меньше 3. Пусть он будет =2.1. Тогда первая точка пересечения примерно равна 10-2.1, т.е чуть меньше 8, а вторая равна 10+2.1, т.е чуть больше 12. Именно там будут разрывы функции и уход её на бесконечность
Теперь надо вспомнить, что Pi это чуть больше чем 3. Грубая прикидка даёт примерно такое взаимное расположение:

Причём по левому куску явно так как нарисовано, а по правому придётся, всё-таки посчитать. 3.14*4=12.56, а 10+sqrt(5)=10+2.23=12.23. Не угадала. Но раз уж пришлось считать, то надо и с левым краем определиться. 3.14*3=9.42, 10-sqrt(5)=7.76. Это явно больше чем 2*Pi=6.28. Значит слева всё нарисовано правильно. Исправляюсь:

Синус (чёрное), делённый на параболу (красное) даст в этих точках бесконечности. А поскольку парабола в этих точках меняет знак, то будет и разрыв, т.е с одной стороны функция будет стремиться к плюс бесконечности, а с другой к минус бесконечности. Осталось понять откуда куда.
Левый кусок (левее восьмёрки) обе функции положительны. Значит результат их деления тоже будет положительным. А правее восьмёрки будет наоборот, т.е вид примерно такой:

Правый кусок. При подходе слева обе функции отрицательны, значит результат деления должен быть положительным:

При подходе справа синус всё ещё отрицательный, а парабола положительна. Похоже что там минус бесконечность.
Всё вместе должно выглядеть как-то так:

Неплохо бы проверить, но не так это и просто:
plot(sin(x)/((x-10)^2-5),x=-3..13);

Это то, что нарисовал Maple:

Если приблизить, то так:

Тоже плохо видно но видимо характер такой как и угадано.
Зато точно известна точка левой бесконечности (X=7.76) и её можно срезать с графика посмотрев, как затухают колебания:
plot(sin(x)/((x-10)^2-5),x=-3..7.3);