Обсчёт чайника

Здесь:
http://akostina76.ucoz.ru/blog/2017-11-26-4611

… было про чайник мощностью 2.2 кВт, который вскипятил 1 литр воды на 4 минуты:
 
Из картинки видно, что кроме литра воды тут нагрелась ещё пара литров воздуха. Удельная теплоёмкость воды (чисто прикидочно при 27 градусах) - 4,1806 кДж/(кг·K), а воздуха - 1,007 кДж/(кг·K).
Чайник я буду считать таким цилиндром:

Всего в нем 3 литра, треть высоты заполнена водой, остальное – воздух. А тепло он отдаёт через верхнюю и боковые стенки.
Чайник не из стекла, но буду считать что из него. Пусть толщина стекла 5 мм. Коэффициент теплопроводности стекла 1-1,15 Вт/(м·K). Пусть будет 1.1 Вт/(м·K)..
Вода водопроводная нагревается с 10 до 100 градусов. Считаю, что пока она меньше комнатных 20 никакой теплопередачи нет.
Тепло измеряется в Джоулях, а мощность чайника в Ватт-часах. 1 ватт-ч = 3600 Дж.
По определению: 1 ватт определяется как мощность, при которой за 1 секунду времени совершается работа в 1 джоуль
Температура воды менялась по какой-то неведомой траектории. Единственное что про неё точно известно что длилось это 4 минуты, а нагрелось в 10 до 100 градусов:

Интересно даст ли теория в виде нескольких констант хоть что-то близкое к тому, что получено на практике.
Ничего гладкого я рисовать не буду, будет нечто дискретно - кусочное, т.е такое:

… а четырёх кусков мне маловато и я разобью интервал по времени на 8 (по полминуты).
За час (т.е 3600 секунд) чайник выдаёт 2.2 кВт тепла. В джоулях это 2200 Вт-ч*3600 = 7920000 Дж. Значит за 30 секунд он выделяет 7920000*30/3600 = 66000 Дж.
Удельная теплопроводность определяется такой формулой – соотношением между теплом Q и температурой T:

Решительно никакого повода думать, что воздух сверху так уж сразу нагревается как вода снизу у меня нет, но более простого предположения для этой прикидочной модели я придумать не могу, потому так:


Масса 1 литра воды – 1 кг. А вот массу воздуха надо вычислять и для этого мне потребуется его плотность. Пишут, что это 1,2041 кг/м3. У меня тут не кубометр а два литра, т.е 2*0.001м3. Из всего этого следует:

Видно что воздух потребляет тепла значительно меньше чем вода. У меня тут и так плюс минус полвагона потому воздух этот можно просто не учитывать и записать так:

Всего у меня периодов 8. Если за полминуты нагрев на 15.79 градусов (=Кельвинов К), то за 4 минуты должно нагреться на 126 градусов. Не совпало, что естественно. Зато позволяет надеяться что нигде не наврано с размерностью. Можно нарисовать первую точку интересующего графика:

Точнее вторую. В первой точке (вначале) температура 10 градусов. Полученные 25 градусов вылезли за комнатные 20
По закону Фурье, поток тепла через стенку вычисляется так:

Площадь стенки явно в метрах. Толщина стенки x скорее всего тоже. Проще всего проверить по размерности:

Да, всё посокращалось, стались Ватты – Джоули.
Надо ещё вычислить площадь, через которую идёт отток тепла, т.е бок и верх цилиндра:

Вроде похоже. Верх кубика 10*10см это 5 раз по 100, т.е 500. Чайник чуть больше.
А вот дальше непонятная засада. Ещё меня интересует толщина стенки. Я её считаю 5 мм, т.е полсантиметра, т.е 0.5*0.01м =0.005м. Но если я такое подставлю в формулу, то получится что вытечет… 122 градуса:

… и это за одну секунду, т.е это ещё на 30 надо умножить. Явно что-то не то. Не знаю в чём тут дело. Похожие на правду цифры получаются… при 70 см. Тогда цифры такие:

А график по ним такой:

Я продолжила его за 8 периодов исключительно чтобы показать его внешний вид, т.е постепенное снижение скорости роста температуры потому что теплоотдача растёт.
К тому же это поучительное зрелище. Не может быть у воды такой температуры. Это я в Excel-е на сколько угодно строк размножу формулу. А физический процесс ставит свои ограничения.
Дифференциальное и интегральное исчисление появились чтобы не возиться с такими «столбиками». Производная это приращение функции к её аргументу. В данном случае это прирост температуры за единицу времени. А интеграл это площадь под графиком, т.е сумма высот всех «столбиков».
Задачи эти начали возникать довольно давно. А в них сплошные приращения за один шаг и суммы величин. Вот и придумали инструментарий позволяющий это делать… без Excel-я.
А сейчас вычислительные возможности такого уровня что можно получить примерно то же самое накопировав формул.
Пожалуй стоит вернуться к загадке природы в виде дикого оттока тепла.
Здесь были константы для стекловаты:
http://akostina76.ucoz.ru/blog/2018-03-07-4880

В числе прочего загадочное λ10 = 0,035 Вт/(м·К). Где-то читала что это на толщину стенки 10 см. Из чего вывод: при 5 мм должно быть в 20 раз меньше. При такой цифре получается почти то, что нужно:

Подозреваю, что цифры в википедии забыли умножить на 10^(-3). Подставлю константу для стекла и меняю толщину стенки на значительно близкие к факту 3 мм. Получается так:

Чайник не стеклянный а из какого-то неведомого пластика. И измеряла я это всё… как измерялось.  Порядок величины, во всяком случае, совпал )))).