LC-колебательный контур и дифференциальные уравнения

LC-колебательный контур это вот такая штука:

В конкретно такой схеме постоянно действующий переменный (как в розетке) ток возникает только теоретически, но это проблема легко исправима небольшими добавлениями.
Конденсатор это конденсатор, а индуктивность L, это какое-то количество на что-то намотанного провода:

От формы (диаметра и длины), количества витков и того на что намотано (просто воздух, проводник, специальный сердечник) зависит параметр L, от которого будет зависеть частота колебаний контура. Провод обычно обладает только сопротивлением и то очень маленьким. Такая форма позволяет внести в процесс магнитную составляющую. То же явление заставляет вращаться проводник с током в поле действия магнита:
http://akostina76.ucoz.ru/blog/2018-10-11-5424
Здесь оно проявляется иначе.

Амплитуда колебаний задаётся начальным напряжением на конденсаторе. Начальный заряд конденсатора (ток, который был в конденсаторе в начальный момент времени) и болтается потом по этому контуру. Вопрос «Почему?» так же логичен как ответ «Потому». Просто так соединённые элементы дают такой эффект.
Но при желании можно получить этот колебательный закон из того, что известно про элементы. Про них (т.е конденсатор и катушку индуктивности) известно что:
1] Заряд конденсатора равен произведению его ёмкости на напряжение на нём:
http://akostina76.ucoz.ru/blog/2018-12-12-5543

Можно ещё вспомнить, что заряд Q это весь ток, который притёк в конденсатор за время его зарядки, т.е Q это интеграл от тока:

Вывод уравнения срисован отсюда:
http://kvant.mccme.ru/pdf/2002/03/kv0302mojayev.pdf

Судя по тамошней формуле там это уравнение просто продифференцировано, чего я не решилась сделать в своём тексте (по ссылке выше). При дифференцировании обычно пропадает некоторая информация потому я предпочла решать интегральное уравнение.
У Можаева для конденсатора написана такая формула:

Строго говоря, непонятно откуда взялся минус перед током I. Это неаккуратно но буду просто считать, что минус потому что отток тока от конденсатора.
2] А для индуктивности действует такой закон:

Т.е напряжение на катушке со смотанным проводом пропорционально константе намотки L и скорости изменения протекающего тока. Вот такой странный объект, который так себя ведёт.
Два уравнения написаны, но хотелось бы получить изменение напряжений во времени для этой схемы, т.е те самые колебания делающие схему колебательным контуром.
Между желаемым результатом и записанными законами для конденсатора и индуктивности находится инструментарий под названием «дифференциальные уравнения». Любые уравнения плохи тем, что их как-то надо решать. Но по счастью можно это делать с помощью программы MapleV. Надо только аккуратно написать само уравнение, в котором будут дифференциалы, т.е производные искомой функции (в данном случае по времени).
В данной схеме только два элемента потому напряжения на них равны:

Формулу для конденсатора можно продифференцировать ещё раз:

А теперь надо засунуть в неё значение дифференциала тока из формулы для индуктивности:


Последнее выражение и есть то самое дифференциальное уравнение, которое я буду засовывать в MapleV:
eq_LC := diff(u(t),t$2)+u(t)/(L*C)=0;
dsolve(eq_LC,u(t));
К сожалению, MapleV с этим сделал немного не то, что мне хотелось:

Вместо синуса и косинуса (т.е колебаний) он нарисовал две экспоненты с комплексными аргументами. Дело в том, что он не знает, что L и C у меня положительные значения, потому не видит ничего страшного в попытке извлечь корень из отрицательного числа. Получить от него более подходящий вариант можно, но этот мне пригодится дальше. А пока просто порадуюсь тому, что решением уравнения могут быть только колебания при любых положительных L и C потому что экспонента комплексного аргумента расписывается так:


А аргумент тут всегда комплексный (при положительных L и С)::

Я хочу всё-таки вытряхнуть интересующий меня косинус результата:
eq := diff(u(t),t$2)+u(t)/(L0*L0*C0*C0)=0;
dsolve({eq,u(0)=U0,D(u)(0)=0},u(t));
И я его добыла:

Вместо непонятных L и C я ему подсунула L0 и C0, квадраты которых засунуты в дифференциальное уравнение. Все-таки можно понять, что квадраты положительны (потому и понял и записал косинус и синус вместо экспонент).
А ещё я ему сразу подсунула начальные значения, т.е то что начальное напряжение равно начальному заряду на конденсаторе (u(0)=U0), а тока в тот же начальный момент нет (D(u)(0)=0).
Полученный результат очень странный. Незатухающие колебания означают, что у меня получился вечный двигатель. А такого не бывает. Модель процесса (а у меня именно она) это всегда какое-то упрощённое описание процесса. Раз получилось странное значит либо ошибка либо упрощений было слишком много. Имеет смысл вспомнить хотя бы то, что конденсатор и катушка соединены каким-то проводом. Его сопротивление мало, но оно есть. Попробую его участь, перерисовав схему так:

Формулы и уравнение:

Полученное уравнение (последнее) я тоже засуну в MapleV:
eq_r := L*C*diff(u(t),t$2)+r*C*diff(u(t),t)+u(t)=0;
dsolve(eq_r,u(t));
Вот что он мне нарисовал:

Самое интересное тут выражение под корнем. Чтобы получились колебания (а не просто убывающая функция) это выражение должно быть отрицательным. Это условие ограничивает величину сопротивления r. Для колебаний надо:


При больших r вообще ничего интересного не будет. Будет убывание по быстро убывающей экспоненте.
Осталось задать конкретные значения и посмотреть, что будет. Пусть c=470мкФ, L=4000мкГн, начальное напряжение на конденсаторе U0=3 вольта, а сопротивление r=0.01 Ом:
L:=0.004:
C:=0.00047:
r:=0.01:
U0:=3:
eq_r := L*C*diff(u(t),t$2)+r*C*diff(u(t),t)+u(t)=0;
ics:=u(0)=U0,D(u)(0)=0;
f:=x->subs(dsolve({eq_r,ics},u(t)),u(t));
plot(f(t),t=0..0.3);
Затухающие колебания, как и должно быть:

Причём с очень большой частотой. На картинке колебания за первые 0.3 секунды. Через 3 секунды они уже прекратятся:

… даже при таком малом сопротивлении проводов.
Частота колебаний LC контура определяется так:

В данном случае это:

На картинке за первые 0.2 секунды 23 волны:

Если умножить на 5 то будет 115.
Тоже самое в QUCS:

Результат:

Для сравнения для мультивибратора нормально мигать с частотой 1 раз в секунду (1Гц) . А тут 116 (116 Гц) и то при очень больших по местных меркам значениям L и С.