Вариационное исчисление и экстремальные задачи

В примере с размерами ракеты:
http://akostina76.ucoz.ru/blog/2017-12-18-4662

… довольно сильно повезло. Всего-то потребовался минимум поверхности (одна простая функция) при максимуме внутреннего объема (функция ещё проще, что позволяет избавиться от одной из переменных).
Довольно часто всё несколько сложнее, а узнать оптимальный вариант хочется. Для этого придумали так называемое вариационное исчисление. Вариация – отклонение, при отклонениях от предложенного варианта результат должен быть хуже. В случае с ракетой изменение соотношения радиуса и длины вызовет рост площади поверхности, а этого не надо.
Экстремальные задачи это поиск экстремума. Экстремумами  называются минимумы и максимумы функции. Это просто общее название «гор» и «впадин» функций. А поскольку обычно требуется находить те самые минимумы и максимумы чего-нибудь при жёстко заданных условиях задачи стали называться экстремальными.
Оглавление одного из учебников:

В нем присутствует «Изопериметрическая задача». Периметр – длина «забора». Может быть интересно как надо поставить «забор» чтобы площадь внутри него была максимальна. Приставка «изо» означает тот самое постоянство, т.е то что параметр – периметр зафиксирован. Параметров может быть много но суть именно та. 
Все эти вещи дают инструментарий, позволяющий решать более сложные задачи, т.е те в которых не получится просто избавиться от переменной и свести всё к примитивному поиску экстремума конкретной функции.
От этого всего в памяти осталось только то, что что-то надо продифференцировать, а остальное к нему присуммировать без изменения.
Что-то такое тут и делается:

Просто чтобы не пропали полезные слова. В эту конструкцию, также как и в формулы для коэффициентов ряда Фурье надо просто засовывать свои функции и получать результат. А интегралы тут вполне естественны. Ведь и площадь поверхности и объем тоже считаются интегралами. Просто для цилиндра всё это уже посчитано.