Двухмерные задачи

Струна хороша тем, что она одномерная. Точнее к ней подходит модель, в которой можно учитывать только одну координату «x» и время «t».
Двухмерные задачи просто технически сложнее. «Технически сложнее» как правило означает, что решаются они только численно. «Как правило» это, конечно, не всегда. Иногда что-то можно вытащить и аналитически (т.е без применения машинного обсчёта). Хотя и машинный обсчёт это не всегда страшно. Я вчера показала как машинно, т.е по «столбиками» считать интеграл. Точности как правило достаточно. Вопрос только в наличии достаточно удобного инструмента и в умении им пользоваться.
Для двумерных задач был разработан специальный кусок Математического Анализа называемый «Теория функции комплЕксного переменного»  (ТФКП). Ниже будет немного про то, что это, а пока про использование.
Вот это:

из  Валландер «Лекции по гидроаэромеханике» (стр 143). В этой задаче считается, что пока поток воды – воздуха не встретился с цилиндром он течёт в его сторону со скоростью ветра – течения V и все молекулы летят-плывут параллельно. А вот когда этот поток встречается с преградой, начинается разное движение, зависящее от формы преграды. Сам же обтекаемый цилиндр (или другая преграда) считается недеформируемым и непротекаемым. Всё это вместе можно сформулировать в виде начальных и граничных условий. Только тут, будет не нулевое смещение струны на её концах, а постоянная и одинаковая скорость V на бесконечном удалении от цилиндра, например.
Если всё это посчитать, то можно получить довольно интересные картинки течений жидкости вокруг предметов разной формы.
Maple такие картинки для комплексной плоскости рисует:

Что-то типа такого:

Или такого (обтекание пластинки):

А это цилиндр, смятый до состояния в котором он стал крылом:

Разные, естественно, формы предметов бывают но иногда что-то по ним можно получить причём аналитически, т.е без использования машинного обсчёта.
Сюда же надо добавить, что пластинка с круглой дыркой обсчитывается по примерно тем же формулам, только получаемые картины будут не картинами течения воды, а картинками напряжений и деформаций в материале. И даже электромагнитные волны вокруг положительно заряженного шара считаются примерно так же.
Короче есть рад двухмерных физических задач, дающих сходные математические уравнения, а есть инструментарий, разработанный специально для решения таких задач.
Это и есть ТФКП. КомплЕксные числа это числа, включающие в себя какое-то количество так называемых мнимых единиц. Мнимая единица это квадратный корень из минус 1:

Рациональных или, что то же самое действительных, т.е обычных чисел таких не бывает. Что угодно можно возводить в квадрат, но просто по правилам умножения (-1)*(-1)=1 отрицательных чисел не получится.
Но никто не мешал извлечь корень из отрицательного числа и обозвать получившееся мнимой частью числа, которая может добавляться к обычной. Обычная запись комплексного числа: z=a+b*i, т.е в нем «a» обычных единиц и «b» мнимых. Но ведь это очень похоже на координату в неком двумерном пространстве! Так и возникает комплЕксная плоскость (она же – двухмерное по форме пространство комплексных чисел) в которых и производятся различные операции.
Не так важно, что там происходит внутри как то, что на выходе получена, например, возможность считать неберущиеся интегралы как сумму вычетов:
http://mathhelpplanet.com/static.php?p=vychisleniye-integralov-s-pomoshchyu-vychetov

Из того что есть по ссылке мне, всё-таки удалось найти тот интеграл, от которого перекашивает Maple:

… т.е он его не только не интегрирует, но и не дифференцирует (при том, что дифференцируемы, вроде, вообще все функции).
Как бы то ни было с помощью суммы вычетов из ТФКП можно получить площадь под графиком и от этой функции в виде вполне конкретного числа (Пи/(2*e)):

Интегралы берутся не от всех функций, скорее от очень немногих. А без  Maple это вообще очень… эээ сложное занятие. Мне кто-то из сотрудников рассказывал, что шутки ради засунули в Maple интеграл, который все считали неберущимся (и вычисляли машиной). А Maple это интеграл в аналитическом виде взял.
Короче ТФКП дала ещё один способ вычисления интегралов без машины. А ещё она дала возможность получать разные решения в двухмерной плоскости (т.е дала возможность получать решения некоторых сложных задач в аналитическом виде).
При использовании, естественно требуется знать, как оно считается а не почему оно так считается. Т.е это просто ещё один инструмент который можно брать и использовать.
И возможно с его помощью (или без его помощи?) можно самостоятельно порисовать картинки хотя бы для того, что есть в лекциях по гидроаэродинамике.
Я тут столкнулась с тем, что известные учебники это выше упомянутая «Гидроаэромеханика», постоянно используемый «МММ»:
http://akostina76.ucoz.ru/load/2-1-0-98

… и не потребовавшийся Фихтенгольц (МатАнализ).
Не плохо бы сюда ещё Нарбут «Механика деформируемого твердого», какую-нибудь «Физику» от Гунько и «Физическую механику» то ли от Гунько то ли от Морозова. Может ещё «Теоретическую механику» от Товстика. Это, как минимум дало, бы полную картину применения всего этого инструментария.
Не говоря уж о куче спецкурсов (Бауэр, например) в которых есть отдельные виды задач. По названиям разные курсы лекций в сети найти можно, но есть ощущение некоторой… информационной недостаточности. Т.е всё это вообще-то там внутри есть, но широкой доступностью почему-то только кафедра Гидроаэромеханики озаботилась. Потому и приходится показывать что-то только на течении воды или на простеньких одномерных примерах из математической физики.
Вообще-то там куча народа. Неплохо бы их чем-то озаботить. И ещё: Maple – система в основном аналитических вычислений. Что-то она считает численно, что-то запрограммировать в ней можно. Но изначально численные инструменты тоже есть. Хотя бы эта штука:
https://youtu.be/pjqvuDnH7V4?list=PLM66dyir0u2ctKIPmSloSdk-OSklESwMF

… В конце концов, какая разница как оно там внутри считает. Это его проблемы. Надо просто уметь ставить задачу и засовывать постановку задачи в машину. Что-то она посчитает и на экране покажет.
p/s
Выше я помянула Бауэр:
http://www.math.spbu.ru/tm/pages/smb.htm

… Она, кроме всего прочего (т.е понятного изложения материала) ещё и с кафедры теоретической механики. Там, по моим ощущениям, чуть другой подход к всё тем же задачам. Т.е там же могут быть и сами задачи и их решения в аналитическом виде. Всякие параметрические резонансы, усиливающиеся колебания и разрушающиеся мосты у неё точно были. Это тоже довольно интересно.