Сохранение тепла, теплоёмкость

Раз недавно была упомянута теплопроводность, то логично вспомнить про теплоёмкость.
Я уже примерно представляю, сколько у меня будет кушать отопление помещения конкретного размера, сделанное из определённого материала.
Следующий вопрос, который у меня возникнет: если вдруг выключится отопление, сколько времени в помещении будет оставаться приемлемая температура. Год назад я не стала рисовать формулы и что-то по ним считать. Я поставила в пристройку курятника печку. Всяко лучше, чем ничего.
Но вопрос интересен сам по себе. Ведь с проблемой можно бороться по-разному. Первый метод борьбы, который вспоминается – огромная русская печь. Огромная русская печь это много- много кирпича, который нагревается огнём, а потом постепенно отдаёт тепло. Утверждается, что такую печь можно протапливать раз в день, в доме сохраняется приемлемая температура.
Напряженно думаю и додумываюсь до мысли, что во-первых, важен материла (видимо, кирпич сохраняет тепло лучше чем дерево или воздух) и его количество (чем больше печь, тем больше в ней сохраняется тепла). Но ведь можно развить идею и сделать внутреннею часть дома из кирпича,  а внешнюю из утеплителя. Тогда будет, как бы очень большая печь, сохраняющая тепло в теплоизолирующем доме точно по её размеру…
Это всё фантазии, пора порисовать формулы. К тому же никакого сложного дома с кирпичом внутри у меня нет. Есть вполне конкретный курятник. Меня в первую очередь интересует его способность сохранять тепло.
Определение удельной теплоёмкости  «c»:
https://ru.wikipedia.org/wiki/Удельная_теплоёмкость

Это – какая-то константа материала. Ничего интуитивного тут нет. Слово «ёмкость» намекает на запасание тепла, но тепло – не картошка в мешках. Присутствие массы m усложнят всю конструкцию, но если переписать так:

… то становится понятно, что усложнение сводится к тому, что использовать, скорее всего,  придётся произведение констант (теплоёмкость умноженная на плотность).
В таблице отсюда:
http://blokhebel.ru/images/tovar/fiziko-tehnicheskie_harakteristiki_avtoklavnogo_gazobetona.pdf

… есть почти всё, что меня интересует.
Первое, что бросается в глаза – теплоёмкость железобетона и минеральной (другое название «каменной») ваты одинакова. А вот плотность очень сильно отличается. Воздух в вате делает его хорошим утеплителем (снижая коэффициент теплопроводности k), но он же резко снижает его способность сохранять тепло (воздух – плохой теплоноситель). Присутствие воздуха «спрятано» в плотность.
Если перемножить теплоёмкость и плотность, то будет так:

И всё равно ничего не понятно. Разве что, интуиция, ориентируясь на слово «ёмкость» подсказывает, что тепло лучше всего хранить в воде, потому что произведение наибольшее. Интересно, что кирпич печки не намного лучше в этом плане, чем дерево сруба.
Каркасное сооружение, заполненное ватой, должно сохранять тепло хуже всего (а значит и остывать оно будет быстрее всего). А железобетон будет остывать медленнее всего, т.е для потенциально аварийных ситуаций это, вроде бы,  лучший вариант.  И для разовых протапливаний печкой, что парадоксально, тоже. Впрочем… как обычно нельзя увлекаться одним параметром. Сохраняет он больше всего, а вот держит тепло хуже всего (наибольший коэффициент теплопроводности). Какая из констант материалов пересилит – ещё вопрос, требующий ответа.
Всё, что касается уравнения теплопроводности, лежит тут:
https://drive.google.com/file/d/139w1VWQ39ihKWtQ9jUNwQTu_n4Mv8cki/view?usp=sharing

Для начала возьму оттуда само уравнение теплопроводности:
http://akostina76.ucoz.ru/blog/2018-03-07-4880

… хотя бы потому, что оно может украсить любые обои.
В нем появляется константа «a». Всё, что происходит с теплом в материале, определятся этой константой, посчитанной по значениям всех других. Её можно посчитать:

Здесь у меня появилась отдельная строка  «вата (курятник)». Я посчитала коэффициент теплопроводности по  нагреву и остыванию:

http://akostina76.ucoz.ru/blog/2018-03-19-4911
Понятно, что о корректности эксперимента и аккуратности расчёта говорить не приходится, но значение получилось такое.
Минимальные значения получились у воды и дерева, максимальны у воздуха и железобетона.
Осталось понять, что это значит.
Уравнение теплопроводности имеет решение в аналитическом виде:

… а не в численном. Приятный и редкий случай, даже не смотря на то, что интеграл, скорее всего, неберущийся, значит всё равно нужно численное решение.
Но здесь вылезает более существенная неприятность. Полная постановка задачи имеет вид:

u(x,t) – температура в точке x в момент времени t. Эту функцию можно посчитать, если знать температуры внутри стенки в начальный момент времени, т.е φ(x).
Я буду считать задачу одномерной, т.е ось втыкается в стенку. Я знаю температуру внутри, т.е при x=0. Я знаю температуру снаружи, т.е при x=0.2 метра. Но у меня нет данных по температурам внутри, в стенке. Взять φ(x) я могу и с потолка, но делать так не хочу.
По счастью у меня есть моя лабораторная работа 1997-го года:
https://akostina76.ucoz.ru/publ/5-1-0-8#teplo
…. и расчёт «Ещё одно уравнение»:

Название такое потому, что одногруппница попросила и её задачу сюда засунуть, а фантазии на «такое же, без крыльев» у меня не хватило.
Эта штука позволяет смоделировать процесс охлаждения одной из сторон. Логично предположить, что температуры внутри стенки одинаковы, если внутри и снаружи здания они равны. Пусть потом внутри обогреватель поддерживает нужную температуру, а cнаружи пошло охлаждение. Наверное, через некоторое время модель выдаст тот график температур, который и установится.
Параметры расчёта такие:

Константа «a», которую тут можно задать как функцию p(x,t), меняющуюся по координате и времени, можно задать какую угодно, потому что меня интересуют не значение, а поведение функции.
w(x=0,t)=10 – это поддерживаемые внутри 10 градусов
w(x, t=0)=10 – это начальные 10 градусов по всей толщине стенки
w(x=1,t)=10*exp(-t*t) – это быстрое охлаждение наружной стенки с 10 градусов до нуля. Экспонента выбрана потом что она быстро убывает до того самого нуля (а дальше не уменьшается).
Вот так выглядит результат:

Т.е в переходный период есть какое-то искривление функции, а потом она становится прямой линией. Значит начальным распределением температур в момент отключения отопления можно считать прямую линию.
Экспериментальные данные по охлаждению взяты отсюда:
http://akostina76.ucoz.ru/blog/2017-10-27-4518

Сравнение факта с двумя расчётами (при разных значениях  «a»):

Экспериментальные данные идут существенно выше. Не возьмусь это интерпретировать. Разве что вспомню, что кроме ваты там и доски и воздух. Во всём накоплено какое-то тепло.
Здесь интереснее то, что чем меньше «a» тем медленнее по расчёту идёт остывание (жёлтый график выше красного).
А это означает как раз то, что медленнее всего будет остывать вода и то, что она – лучший теплоноситель. А худший теплоноситель  воздух. Он остынет быстрее всего.

Маple расчёт:
x:=0:
a:=0.021:
t_min:=-1.3:
t_max:=5.2:
h_stema:=0.2:
fi_0:=piecewise(y<0,t_max,y>=0 and y<=h_stema, t_max-y*t_max/h_stema,y>h_stema,t_min):
t:=60*60:
exp_i:=exp ( -( (y-x)^2)/ (4*a^2*t)):
int_i:=int(exp_i*fi_0,y=-infinity..infinity)/(2*a*sqrt(t*Pi)):
evalf_int:=evalf(int_i):
delta_t:=t_max-evalf_int:
Интересно, что если запустить расчёт с температурой в курятнике 10.3 и наружной 0 за три часа, то получится похоже на факт 5.27 (факт =5.2).
И остывание с 19 наружных при 6 уличных до 13 градусов за 12 часов тоже совпало.
Расчёт при толщине стенки 0.4, внутренней температуре 13 и наружной -5 даёт, что через 3 часа будет 5 градусов, что, конечно, мало. И, увы, похоже на правду.

Осталось подумать про секрет печи. Печь это сплошной «куб» из кирпича. Это означает, что теплу из её середины надо проделать и преодолеть довольно большой путь. К тому же, наружная стенка печи находится в доме, где всяко больше нуля. Значит, теплоотдача небольшая. Похоже, реально может сохранять тепло только такой сплошной куб. В стенках тепло удержать невозможно, дело не в их общем количестве, а форме (куб c большим расстоянием для прохода внутреннего тепла наружу). Расчёт показывает чушь. Видимо потому, что печь не топят до состояния прямой линии на начальном этапе. Там нагрев внутри, а остальное относительно этого холодное. Короче там надо брать другой вариант φ(x), тот, который для начальных стадий прогрева, а мне сейчас лень.