Вынужденные колебания струны

Струнная тема себя явно исчерпала, но для полноты картины всё-таки опишу, что будет если на струну по какому-то закону действует внешняя сила.
Постановка задачи для этого случая имеет вид:

Начальные (φ,ψ) и граничные (=0 на концах) такие же как раньше. А внешняя действующая сила – некая функция f(x,t).
Можно искать решение U(x,t) в виде  суммы U(x,t)= V(x,t)+W(x,t) для которых так:

… т.е W(x,t) ищется так как описано тут:
1:
http://akostina76.ucoz.ru/blog/2017-03-01-3908

2:
http://akostina76.ucoz.ru/blog/2017-03-10-3936

И это решение возьмёт на себя начальные условия φ(x) и ψ(x). Т.е если присуммировать полученное W(x,t) к тому, что равно нулю в начальный момент времени соответствие начальным условиям никуда не денется.
А второе слагаемое – функция V(x,t) должно быть таким чтобы было выполнено расширенное волновое уравнение (включающее в себя f(x,t)).
Можно поискать решение в виде слагаемых ряда Фурье. Закрепление струны с двух сторон никуда не делась потому раскладывать функцию лучше по синусам:
http://akostina76.ucoz.ru/blog/2017-03-16-3954

И совершенно аналогично в рад Фурье можно разложить и f(x,t):

Чтобы подставить это всё в уравнение надо взять вторую производную V(x,t) по x:

Всё в уравнение:

Тут ничего кроме переноса из одной части в другую. Равенство же выполняется только если для любого «k» выполнено равенство из последнего уравнения. Т.е для получения решения надо решить несколько дифференциальных уравнений, подставив в них f_k(t).